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6.4 SEGUNDA LEY DE NEWTON

 

OBJETIVO:

El alumno será capaz de construir un diagrama de cuerpo libre que represente todas las fuerzas que actúan sobre un objeto que se encuentra en equilibrio traslacional.

 

La Segunda ley de Newton se encarga de cuantificar el concepto de fuerza. Nos dice que la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es proporcional a la aceleración que adquiere dicho cuerpo . La constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo , de manera que podemos expresar la relación de la siguiente manera :

F=ma

Tanto la fuerza como la aceleración son magnitudes vectoriales, es decir, tienen, además de un valor, una dirección y un sentido. De esta manera, la Segunda ley de Newton debe expresarse como:

F = m a

 

 

La unidad de fuerza en el Sistema Internacional es el Newton y se representa por N . Un Newton es la fuerza que hay que ejercer sobre un cuerpo de un kilogramo de masa para que adquiera una aceleración de 1 m/s2 , o sea,

1 N = 1 Kg · 1 m/s2

La expresión de la Segunda ley de Newton que hemos dado es válida para cuerpos cuya masa sea constante. Si la masa varia, como por ejemplo un cohete que va quemando combustible, no es válida la relación F = m · a . Vamos a generalizar la Segunda ley de Newton para que incluya el caso de sistemas en los que pueda variar la masa.

Para ello primero vamos a definir una magnitud física nueva. Esta magnitud física es la cantidad de movimiento que se representa por la letra p y que se define como el producto de la masa de un cuerpo por su velocidad , es decir:

p = m · v

La cantidad de movimiento también se conoce como momento lineal . Es una magnitud vectorial y, en el Sistema Internacional se mide en Kg·m/s . En términos de esta nueva magnitud física, la Segunda ley de Newton se expresa de la siguiente manera:

La Fuerza que actua sobre un cuerpo es igual a la variación temporal de la cantidad de movimiento de dicho cuerpo, es decir

F = d p /dt

De esta forma incluimos también el caso de cuerpos cuya masa no sea constante. Para el caso de que la masa sea constante, recordando la definición de cantidad de movimiento y que como se deriva un producto tenemos:

F = d(m· v )/dt = m·d v /dt + dm/dt · v

Como la masa es constante

dm/dt = 0

y recordando la definición de aceleración, nos queda

F = m a

tal y como habiamos visto anteriormente.

 

Otra consecuencia de expresar la Segunda ley de Newton usando la cantidad de movimiento es lo que se conoce como Principio de conservación de la cantidad de movimiento . Si la fuerza total que actua sobre un cuerpo es cero, la Segunda ley de Newton nos dice que:

0 = d p /dt

es decir, que la derivada de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo es cero. Esto significa que la cantidad de movimiento debe ser constante en el tiempo ( la derivada de una constante es cero ). Esto es el Principio de conservación de la cantidad de movimiento : si la fuerza total que actua sobre un cuerpo es nula, la cantidad de movimiento del cuerpo permanece constante en el tiempo .

 

EJEMPLOS

- Calcular la aceleración que produce una fuerza de 5 N a un cuerpo cuya masa es de 1000g

Expresar el resultado en m/s².

 

DATOS
FÓRMULA
SUSTITUCIÓN
RESULTADO
A = ? a = F / m a = 5 Kg m/s² / 2 Kg = 2.5 m/s²
F = 5 N      
m = 2000g = 2Kg      

 

- Calcular la masa de un cuerpo si al recibir una fuerza de 200N le produce una aceleración de 300 cm/s². Exprese el resultado en Kg.

DATOS
FÓRMULA
SUSTITUCIÓN
RESULTADO
M = ?      
F = 200 N a = f / m    
A = 300 cm/s² = 3 m/s² m = f / a m = 200N / 3 m/s² = 66.6 Kg

 

EJEMPLO 1

Una fuerza F se ejerce directamente hacia arriba sobre el eje de la polea sin masa. Considere que la polea y el cable carecen de masa. Dos objetos, de masas m 1 = 1,2 kg m 2 = 1,9 kg, están unidos a los extremos opuestos del cable, el cual pasa por la polea. El objeto m 2 está en contacto con el piso.
a) ¿Cuál es el valor más grande que la fuerza F puede tener de modo que m 2 permanezca en reposo sobre el piso?

b) ¿Cuál es la tensión en el cable cuando la fuerza F hacia arriba sea de 110 N? ¿Cuál es la aceleración de m 1 ?

 


SOLUCION

Veamos el diagrama de cuerpo libre de la polea y de las dos masas.

a) Para que m 2 permanezca en reposo sobre la superficie, debe ser mayor que m 1 .

Fuerzas sobre m 2 :
m 1 g - T - N = 0 ,
pero N = 0 cuando está a punto de despegar.

Luego: m 2 g - T = 0 (1)

Fuerzas sobre m 1 :
T - m 1 g = m 1 a 1 (2),
donde es la aceleración con que sube . Aquí existe una aceleración, porque si la masa 2 tiene que estar en reposo y la cuerda es inextensible, obvio que la masa m1 se mueve.

Fuerzas sobre la polea:
F - 2T = 0 (3)

De la expresión (3)

Reemplazando T en (1) queda
m 2 g - F/2 = 0 ; por lo tanto F = 2m 2 g (4)

Reemplazando m 2 =1,9 kg y g=10m/s 2 queda F= 38N

b) Calculo de la tensión del cable:

Reemplazando F = 110 N en la expresión (3) :
110 - 2T = 0 , luego: T= 55N

Calculo de a 1 :

Reemplazando T , m 1 y g en (2) :

55 - 12 = 1,2a 1 ,
luego : a 1 = 35,8 m/s 2

EJEMPLO 2

En el diagrama de la siguiente figura se pide que:

a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre asociado a:la masa M, la polea P y la masa m 2

b) ¿Cuál es la relación entre la aceleración de la masa m 2 y la de M?

c) Encuentre la aceleración de M.

d) ¿Cuál es el valor de la tensiones?

 

SOLUCION

a) diagrama de cuerpo libre asociado a M

diagrama de cuerpo libre asociado a la polea P

diagrama de cuerpo libre asociado a m 2


Veamos el diagrama de cuerpo libre de la polea y de las dos masas.

b)


Por lo tanto:

Otra forma de ver, es que si la masa M se mueve X, la m 2 se mueve X/2. Si hacemos la derivada de la posición dos veces, obtenemos la aceleración de las masas y llegamos a la misma relación.

c) Según diagrama de cuerpo libre, se tiene:

(1) T 1 = m 2 a 2

(2) Mg= Ma M

(3) T 2 - 2T 1 =0

Además sobre m 2 : N - m 2 g= 0,
ya que no hay movimiento en ese eje.

Reemplazando (1) en (3) , se tiene: T 2 - 2m 2 a 2 = Ma M (4)

Reemplazando (4) en (2) , se tiene:

Mg - 2ma 2 = Ma M pero, a 2 = 2a m

Mg - 2m 2 a 2 = Ma M

Mg = (M + 4m 2 ) = a M

d) Reemplazando en expresión a 2 = 2a m en expresión (1) , se obtiene
:
T 1 = m 2 a M , por lo tanto:

de la expresión ( 3) , T 2 = 2T 1 , por lo tanto reemplazando el valor obtenido

 

 

EJEMPLO 3

- Considere el sistema que muestra la siguiente figura. El bloque A de 64lb en reposo sobre una masa sin fricción y esta atado en su otro extremo a un peso W, calcule:

a) ¿Cuál debe ser el valor de W para impartir al sistema una aceleración de ?

b) ¿Cuál es la tensión en la cuerda?

 

SOLUCIÓN (a)

Dibuje el diagrama cuerpo libre (boton diagrama cuerpo libre)

Puesto que las fuerzas verticales en el bloque de 64lb están equilibradas, la fuerza neta en el sistema total es solo el peso W . aplicamos la ley de Newton:

2W=64lb+W

2W W = 64lb

w=64lb

 

SOLUCIÓN (b)

T= 32lb

 

 

ACTIVIDAD No.2

-Calcule la aceleración y la tensión de la cuerda en la siguiente figura.

 

TAREA 2

Una cuerda ligera pasa sobre una polea sin fricción, como se muestra en la siguiente figura. Las masas m 1 y m 2 están atadas a cada extremo de la cuerda.

a) Calcule la fuerza resultante del sistema. si m 1 = 15 Kg y m 2 = 8 Kg.

b) Calcule la masa total

c) Determine la aceleración del sistema

d) ¿Cuál es la tensión de la cuerda?

 

Calcule la aceleración y la tensión de la cuerda en la siguiente figura.

 

 

1.- Una cuerda ligera pasa sobre una polea sin fricción, como se muestra en la siguiente figura. Las masas m 1 y m 2 están atadas a cada extremo de la cuerda.

a) Calcule la fuerza resultante del sistema. si m1 = 45 Kg y m2 = 25 Kg.

b) Calcule la masa total

c) Determine la aceleración del sistema

d) ¿Cuál es la tensión de la cuerda?

 

2.- Calcule la aceleración y la tensión de la cuerda en la siguiente figura.

- Considere el sistema que muestra la siguiente figura. El bloque A de 104 lb en reposo sobre una masa sin fricción y esta atado en su otro extremo a un peso W, calcule:

a) ¿Cuál debe ser el valor de W para impartir al sistema una aceleración de ?

b) ¿Cuál es la tensión en la cuerda?